Ejercicios números complejos

Veamos más ejercicios:

También tenemos las soluciones a todos los ejercicios (cuidado, son 254 kb)
Precaución: están sin corregir, estos son los errores que yo he encontrado, seguro que hay alguno más.

Autoevaluación tema 6

He elaborado un test para repasar los contenidos del tema 6.

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Suerte

Raíces en los números complejos

Los números complejos también tienen raíces:

Todo número complejo tiene n raíces n-simas

Esto quiere decir que cualquier número (real o complejo) tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas,...

Veamos algunos ejemplos

Examen Trigonometría

1) Dos amigos se encuentran situados cada uno a un lado de una estatua, como muestra la figura:

a) ¿Cuál es la altura de la estatua?
b) ¿A qué distancia de la estatua está cada uno de los amigos?
Solución

2) Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 4 cm, b = 9,5 cm, C = 50º. Solución
b) a = 12,6 cm, b = 26,4 cm, B = 124º 34'.

3) Si tg a = 2/3 y 0º < a < 90º
a) sen a
b) tg (90º – a)
c) cos (180º + a)
d) tg (360º – a)
Solución

4) Si sen 24° = 0,4 y sen 53° = 0,8, halla cos 24° y cos 53°.
Calcula, a partir de ellas, sen 29°, cos 77° y tg 12º, utilizando las fórmulas de la suma y la diferencia de ángulos y el ángulo mitad.
Solución

5) Deduce la fórmula de tg 2a a partir de las fórmulas de la suma de ángulos.
Demuestra: cos (x + p/3) – cos (x + 2p/3) = cos x
Solución

6) Halla todos los ángulos que cumplen:
a) sen (x + 45º) + sen (x – 45º) = 1. Solución
b) cos x sen 2x – sen x = 0. Solución

Operaciones en forma polar

El producto y el cociente de complejos en forma polar es sencillo:

Complejos en forma polar

En primer lugar representamos números complejos en forma polar


También debemos habituarnos a transformar números complejos de forma binómica a forma polar, y viceversa.


Aquí tenemos algunos ejercicios

Números complejos

Las operaciones de níumeros complejos en forma binaria son bastante sencillas, son similares a las operaciones con polinomios, únicamente hay que tener en cuenta que i² = -1.

Tema 6 Números complejos

Empezamos tema, y aunque a primera vista parece que tiene poco que ver con lo anterior, pronto veremos que sí están relacionados, por lo que es conveniente dominar la trigonometría para poder estudiar bien los números complejos.

Para comenzar algunos ejercicios sencillos:

Comentarios examen Tema 5

El ejercicio
4 b) sen 3x – sen x = cos 2x
es sencillo si se emplea la fórmula de diferencia de senos, si hacemos
sen 3x = sen (2x + x) y desarrollamos obtenemos la expresión de
sen 3x, y la ecuación resultante es de tercer grado, pero que no tiene soluciones enteras, aun así se puede resolver por Ruffini, sus soluciones son:
1/2, (raíz 2)/2 y -(raíz 2)/2.
Creo recordar que lo resolví, o indiqué cómo se hacía, en clase.

Examen Tema 5

Trigonometría II

1) Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37°
y tg 37°.
Calcula, a partir de ellas, sen 49°, cos 25° y tg 25º, utilizando las fórmulas de la suma y la diferencia de ángulos.
Solución

2 a) Deduce la fórmula de sen 2a y cos 2a a partir de las fórmulas de la suma de ángulos.
b) Demuestra que: Solución

3 a) Utilizando la fórmula fundamental de trigonometría y el desarrollo de calcula la expresión de
b) Halla los ángulos entre 0º y 360º que cumplen: Solución

4) Halla todos los ángulos que cumplen:
a) Solución

b) sen 3x – sen x = cos 2x Solución

Expresa el resultado en grados y en radianes

5) Elige una opción:
5a) Demuestra, a partir de la construcción geométrica del ángulo
a + b, la expresión de sen (a + b) Solución
5b) Resuelve el sistema: dando las soluciones del primer cuadrante. Solución

Ejercicios Tema 5 (III)

Las ecuaciones trigonométricas tienen algunas características propias:

1. Cómo y cuándo decidir si sustituimos sen²x = 1 - cos²x, o cos²x = 1 - sen²x.
2. Hallar todas las soluciones.
3. Comprobar las soluciones.

La respuesta más sencilla, pero no por ello menos cierta, es que esto se aprende con la práctica, haciendo muchos ejercicios, incluso haciendo un mismo ejercicio de dos maneras distintas y así comprobamos cuál es mejor, también es conveniente repetir un ejercicio ya hecho pero en el que hemos cometido varios errores para intentar resolverlo sin errores.


Además del metódo general para resolver este tipo de ecuaciones, existen algunas reglas generales, que podemos aplicar en algunos casos, pero que en otros sólo sirvan para complicar el problema.

• Sustituir las expresiones conocidas cuando consigamos una simplificación del problema, de lo contrario las podemos dejar, ya habrá tiempo de sustituir.
• Intentar simplificar lo antes posible, es más fácil trabajar con números y expresiones sencillas que con complicadas.
• Tener presente que si conocemos alguna razón trigonométrica de un ángulo podemos hallar las restantes utilizando la relación fundamental de trigonometría.
• Intentar "ver" la solución del problema: hago esto y esto y lo resolveré, si el problema se va complicando mejor probar otro método.

El consejo que puedo daros es utilizar el sentido común, y no empecinarse en resolver todos los problemas de la misma forma, los ejercicios ya resueltos nos sirven de guía para los nuevos, pero no todos son iguales; pensad que os podéis haber equivocado, o que siendo correcto el método podéis encontrar otro que sea más fácil,...


En resumen, perseverancia. Como en todo aprendizaje podemos tener algunos momentos en los que todo parece difícil, pero cuando conseguimos resultados podemos sentir cierto orgullo: "mira: yo sé transformar esto, tan complicado, en algo más sencillo"


Por último, algunos ejercicios resueltos:

Pág 133 ejercicio 4

Pág 137 ejercicio 2: a) b) c) d)

Pág 137 ejercicio 4 (había un error)

Pág 142, ejercicio 14: a) b) c) d) e) f) g)

También tenéis todas las soluciones del tema 5 (sin corregir) (¡ojo! son 219 kb)